"गणित विषय म्हणजे केवळ उदाहरणे सोडवणे नाही, तर उदाहरणांमागील संकल्पना समजून घेणे. आणि हे प्राथमिक वर्गांतच समजावून देता आले तर मग मुलांची गणिताशी गट्टी व्हायला वेळ लागत नाही." - विद्यार्थ्यांना सोप्या पद्धतीने गणिताची गोडी कशी लावायची, याबाबत विविध प्रशिक्षणांच्या माध्यमातून सापडलेल्या क्लृप्त्या मांडतायत गोरेगाव, मुंबई येथील डोसीबाई जीजीभॉय प्राथमिक शाळेतील सहशिक्षिका अदिती घाडीगावकर
भोलानाथ उद्या आहे गणिताचा पेपर
पोटात माझ्या कळ येऊन दुखेल का रे ढोपर...
जवळपास ५० वर्षांपूर्वीचे हे बालगीत, पण गणित नावाचा बागुलबुवा मात्र अजूनही मुलांच्या पोटात गोळा आणतोय. या बागुलबुवाला पळवून लावायचं असेल तर गणिताशी गट्टी करायला हवी. होय, गणिताशी गट्टी! जी आमची आणि आमच्या विद्यार्थ्यांची झाली आहे. याचे महत्त्वाचे कारण म्हणजे शिक्षकांनी वेळोवेळी घेतलेली प्रशिक्षणे. या प्रत्येक प्रशिक्षणांचा कालावधी ४ ते ५ वर्षांचा होता. सर्व प्रशिक्षणे एवढ्या क्षमतेची होती, की त्याविषयी एका लेखात लिहिणे शक्य नाही. यांतील काही महत्त्वाच्या गोष्टी या लेखातून सांगण्याचा हा प्रयत्न.
गणित विषय म्हणजे केवळ उदाहरणे सोडवणे नाही, तर उदाहरणांमागची संकल्पना समजून घेणे जास्त महत्त्वाचे आहे, ही जाणीव करून दिली वर्षाताई सहस्रबुद्धे यांच्या प्रशिक्षणाने. आमची शाळा २००० साली सुरू झाली. गुणवत्तापूर्ण शिक्षणाची कास धरणाऱ्या आमच्या ‘दि शिक्षण मंडळ’ संस्थेने शाळेच्या पूर्ण बांधणीसाठी पुण्याच्या शिक्षणतज्ज्ञ वर्षाताई सहस्रबुद्धे यांचे शिक्षकांना मार्गदर्शन देण्याचे ठरवले. जवळपास ६ वर्षे वर्षाताईंचे सलग मार्गदर्शन मिळाले. गणितातील संकल्पना समजून घेण्यासाठी शैक्षणिक साहित्याचा वापर केला पाहिजे आणि प्रत्येक मुलाच्या हातात साहित्य हवे, या त्यांच्या सूचनांमुळे संख्याज्ञानापासून ते अपूर्णांकापर्यंतच्या संकल्पना समजायला मुलांना खूप मदत होते. एकदा का मुलांना संकल्पना समजली, की साहित्याची मदत हळूहळू काढून घ्यायची. आम्हा सर्व ताईंसोबत वर्षाताईदेखील शैक्षणिक साहित्य तयार करायला सोबत बसत. त्यावेळी आम्ही सर्व साहित्य हाती बनवले होते. वर्षाताई म्हणायच्या की, ताईंच्या हस्ताक्षरातील साहित्य मुलांच्या हाती असेल, तर ते मुलांना फार जवळच वाटते, त्यात आपलेपणा असतो. मुलांच्या भावनिक विकासाचा किती मोठा विचार या एका वाक्यात आहे ना!
मुले साहित्य वापरून संकल्पना शिकू लागली, याचा आणखी एक फायदा झाला; तो म्हणजे, प्रत्येक मूल स्वतःच्या गतीने शिकू लागले. एकदा मी तिसरीच्या वर्गावर भागाकार शिकवत होते. भागाकारासाठी आम्ही दहा-दहाच्या चौकटी असलेल्या पट्ट्या आणि एक-एकचे सुट्टे चौकोन वापर होतो. समान गट आणि समान वाटणी यांचे प्रात्यक्षिक दोन वेळा झाल्याबरोबर तिसरीतील शुभंकर म्हणाला की, ‘आता मी संख्या वापरून भागाकार करतो’. त्याने अचूक उदाहरणे सोडवली. ही ताकद आहे साहित्याची, प्रत्यक्ष कृती करत शिकण्याची. दशांश अपूर्णांक ही संकल्पना तशी समजण्यास कठीण, पण वर्षाताईंसोबत आम्ही १०,१००,१००० समान भाग असलेले कागदी साहित्य प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी तयार केले. या साहित्याच्या वापरामुळे मुलांना दशांश अपूर्णांक ही संकल्पना सहज समजली.
आधी शिकवलेल्या भागाची उजळणी घेण्याबाबतही वर्षाताईंनी एक महत्त्वाचा मुद्दा सांगितला. उजळणी म्हणजे मुलांना काय येते हे तपासणे नाही, तर त्यातील उजळवणे या शब्दाचा अर्थ घासून लख्ख करणे, हा लक्षात घ्यायला हवा. उजळणी घेताना पुन्हा शैक्षणिक साहित्य वापरून पूर्ण संकल्पनांचा धावता आढावा घ्यायचा असतो. त्यामुळे मुलांना आधी झालेला भाग आठवायला मदत होते. उजळणीचा खरा अर्थ यापेक्षा वेगळा तो काय असेल!
शिकलेल्या भागाचे उपयोजन दुकानजत्रासारख्या उपक्रमातून करणे, हाही वर्षाताईंकडून मिळालेल्या प्रशिक्षणाचा महत्त्वपूर्ण भाग. यात खर्चाचा अंदाज घेणे, प्रत्यक्ष खर्च, विक्रीसाठी असलेल्या वस्तूंच्या किमती ठरवणे, नफा-तोटा या सर्वांचा हिशोब ठेवणे, यांचा प्रत्यक्ष अनुभव मुले दरवर्षी घेत आहेत. वर्षाताईंच्या मार्गदर्शनातून गणिताच्या संकल्पना मुलांना कशा शिकवायच्या एवढेच नाही, तर मुलांना समजून कसे घ्यायचे, हेही आम्हा शिक्षकांना समजले.
मुले साहित्य वापरून कृती करताना...
आमची गणिताशी गट्टी होण्याचे आणखी मोठे कारण म्हणजे, अरुण मावळंकर सरांकडून आम्हांला लाभलेले गणितविषयक प्रशिक्षण. TIFR (Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai) या राष्ट्रीय शैक्षणिक संस्थेत विज्ञान आणि गणित या विषयांवर संशोधन केले जाते. गणित, विज्ञान या विषयांतील मुलांची समज आणि गुणवत्ता वाढावी, यासाठी ही संस्था काम करते. अरुण मावळंकर सर हे या संस्थेतील गणित विभागाचे प्रमुख होते. अरुण मावळंकर आणि त्यांच्या सहकाऱ्यांनी पहिली ते तिसरीची गणित विषयासाठी पूरक पुस्तके तयार केली आहेत. २००५ ते २००९ पर्यंत सरांचे खूप मोलाचे मार्गदर्शन आम्हांला मिळाले.
आतापर्यंत आम्हांला कोणतीही संकल्पना शिकवताना मूर्त ते अमूर्त हे टप्पे असतात, हे माहीत होते. पण मावळंकर सरांनी या टप्प्यांमधील आणखी सूक्ष्म टप्पे दाखवले.
मूर्त, अर्ध मूर्त, अर्ध अमूर्त, अमूर्त.
मूर्त :- काड्या, बिया किंवा मणी यांसारखे साहित्य वापरून संकल्पना समजून घेणे.
अर्ध मूर्त :- दशकाची पेटी, गोळे, शतकाचा पेटारा ही सांकेतिक चिन्हे असलेले साहित्य वापरून संकल्पना समजून घेणे.
अर्ध अमूर्त :- दशकाची पेटी, गोळे, शतकाचा पेटारा यांची चित्रे काढून संकल्पना समजून घेणे.
अमूर्त :- संख्या वापरून उदाहरणे सोडवणे.
नवीन संकल्पना शिकण्याच्या टप्प्यावर संकल्पनेचे व्यवस्थित आकलन होणे खूप महत्त्वाचे असते. या चारही टप्प्यांची संकल्पना शिकताना मुलांना खूप मदत होते. संकल्पनेची समज वेगवेगळ्या माध्यमांतून विकसित होत जाते. मावळंकर सरांसोबत गणित या विषयाचा खरा अर्थ उमजत गेला. गणित म्हणजे केवळ गणन नाही, तर तो एक तर्कशुद्ध विचार आहे. अंदाज करणे, विश्लेषण करणे, तपासून पाहणे, तर्क लावणे, विचार करणे या गणितातील महत्त्वाच्या कृती आहेत. शाब्दिक उदाहरणांबाबत सरांनी एक महत्त्वाचा विचार सांगितला होता. शाब्दिक उदाहरणांत नेमकी कोणती कृती करायची, हे समजणे जास्त महत्त्वाचे आहे. शाब्दिक उदाहरणांत मोठमोठ्या संख्या घेणे फार महत्त्वाचे नाही. शाब्दिक उदाहरणे अशी हवीत, की ज्यातून मुलांना विचार करण्याच्या संधी मिळतील. काही उदाहरणे पाहू :
१) शाळेच्या मैदानात ३ रिक्षा, २ मोटारी आणि १ सायकल उभी आहे, तर सर्व वाहनांची मिळून किती चाके झाली?
२) रामकडे २५ हून जास्त पुस्तके आहेत, सॅमकडे रामपेक्षा ५ पुस्तके जास्त आहेत, तर रामकडे किती पुस्तके असतील? अशी अनेक उत्तरे येणारी उदाहरणेदेखील मुलांना द्यायला हवीत, ज्यातून संख्यांबद्दलची मुलांची समज वाढत जाईल.
मुलांना संख्या दिसायला हव्यात, संख्यांचे आकृतिबंध मुलांच्या नजरेत पक्के बसले पाहिजेत, असा सरांचा आग्रह असे. जसे, १०० म्हणजे ८० अधिक २०, ५० गुणिले २ सुद्धा आणि १०२ वजा २ सुद्धा. इयत्ता पहिली-दुसरीत तर मुले घरी, परिसरात दिसणाऱ्या संख्या शोधत असतात. एकदा पहिलीत २ या अंकाची संकल्पना चालू होती. त्यावेळी वर्गातील शौनक म्हणाला की, ‘ताई, मी आणि शिखर २ आहेत, कारण आम्ही जुळे आहोत(शौनक-शिखर). खूप मजा येते मुलांचे हे प्रतिसाद ऐकून!
उदाहरणे सोडवल्यावर ते कसे सोडवले याचे स्पष्टीकरण मुलांना लिहायला दिल्यामुळे त्यांनी उदाहरणे सोडवताना कसा विचार केला, हे पाहायलाही मावळंकर सरांनी आम्हांला शिकवले. सर फळ्यावर उदाहरणे सोडवताना रंगीत खडूंचा वापर करत. जसे, वजाबाकीत हातचा, खालील उत्तर लिहिताना वेगवेगळ्या रंगाचे खडू वापरणे. त्यामुळे फलकलेखनातूनही उदाहरणातील टप्पे नकळत मुलांच्या नजरेस पडतात. सर नेहमी म्हणत की, गणित हा विषय शब्दबंबाळ करून शिकवण्याचा नाही. शिक्षकांनी प्रत्येक संकल्पना शिकवताना स्पष्टीकरण करत शिकवण्याची गरज नाही, तर मुलांनी स्वत: कृती करत शिकले पाहिजे.
अपूर्णांक, मापन या संकल्पना घेताना वहीत उदाहरणे न करता, रोजच्या जीवनाशी जोडायला हव्यात, तर त्या संकल्पना मुलांना लवकर समजतील आणि अशा प्रकारच्या संकल्पनांची गरज कोठे-कोठे असते, हे मुलांना स्वत:ला समजत जाईल, हा एक अधोरेखित करणारा मुद्दा सरांच्या प्रशिक्षणात असे. जसे, रिकाम्या बाटलीपासून स्वतः लिटरची मापे तयार करून स्वत:च्या अंघोळीसाठी लागणारे पाणी मोजणे; कलिंगड, केक यांचे समान भाग करून त्यातील अपूर्णांक ओळखणे.
मातीकामासाठी लागणारी माती प्रत्यक्ष मोजताना...
गणिताचे खेळ ही सरांकडून मिळालेली देणगीच आहे. संकल्पनांचा सराव घेताना फक्त उदाहरणे न देता खेळांतून सराव घेतला, तर मुलांना कंटाळाही येत नाही आणि विषयातील रुचीही वाढत जाते. सरांनी तयार केलेल्या होमी भाभा संस्थेच्या पुस्तकात अनेक खेळ आहेत. या खेळांसोबत आम्ही शिक्षकांनीही काही खेळ तयार केले आहेत. आमच्या शाळेतील मुलांमध्ये गणित विषयाची आवड निर्माण करण्यासाठी मावळंकर सरांकडून मिळालेले प्रशिक्षण खूपच महत्त्वाचे ठरले आहे.
शिक्षकाची विषयाची समज उत्तम असेल, तर तो मुलांसोबत विषय सहज फुलवत नेतो. ही समज वेळोवेळी वाढवणेही तेवढेच आवश्यक असते. त्याकरता नवनवीन प्रशिक्षणातून स्वतःला आजमावताही येते. अशीच एक संधी मला मिळाली ती CEQUE ( Centre for Equity and Quality in Universal Education) अर्थात सिके संस्थेमुळे. वर्गातील पाठांची उंची वाढावी याकरता शिक्षकांना प्रशिक्षण देणारी ही संस्था. मी ज्या वर्षी या संस्थेकडून प्रशिक्षण घेतले, तेव्हा गणितातील अपूर्णांक या संकल्पनेवर काम चालू होते. गणिततज्ज्ञ विपुलाताई अभ्यंकर आणि आशिष केळशीकर सर यांचे याकरता मार्गदर्शन लाभले. अपूर्णांक ही संकल्पना तिसरीपासून सुरू होते. विपुलाताई प्रशिक्षणादरम्यान नेहमी म्हणायच्या की, प्राथमिक स्तरावरच संकल्पना केवळ संबोध म्हणून लक्षात न राहता, त्याचा रोजच्या कृतींमध्ये वापर करायला हवा. जसे, वस्तू वाटताना अर्धा भाग दाखवताना एकूण वस्तूंचा अर्धा भाग मुलांना दाखवता येणे, खेळाचे मैदान आखताना एकूण लांबीचा अर्धा भाग, पाव भाग दाखवता येणे. एकदा इयत्ता चौथीच्या मुलांनी अपूर्णांक ही संकल्पना वापरून खेळाच्या मैदानाची प्रतिकृती तयार केली होती.
गणिताचे पाठ अधिक दर्जेदार होण्यासाठी या प्रशिक्षणातून काही महत्त्वाच्या गोष्टी समजल्या :
१) कोणतीही संकल्पना शिकवण्यापूर्वी शिक्षकाने त्या संकल्पनेतील उपघटक काढायला हवेत. त्यामुळे संकल्पनेची व्याप्ती लक्षात येते, तसेच शिक्षकाला आपापल्या इयत्तेवर योग्य दिशेने काम करता येते. जसे की, भागाकाराचे उपघटक मोजणी, वजाबाकी, अपूर्णांक.पहिली ते चौथीपर्यंत शिकवणाऱ्या शिक्षकांना पहिली ते आठवीपर्यंतच्या संकल्पनेची व्याप्ती माहीत असणे आवश्यक आहे. जसे, गुणाकार दुसरीपासून ते आठवीपर्यंत कसा वाढत जातो, हे दुसरीला शिकवणाऱ्या शिक्षकाला माहीत असेल, तर दुसरीपासूनच गुणाकाराची संकल्पना अधिक प्रभावीपणे शिक्षक मुलांपर्यत पोहोचवू शकेल.
२) नेहमी मूल्यमापनानंतर मुलांच्या चुकांचे विश्लेषण करणे (Error Analysis) महत्त्वाचे आहे. चुकांच्या विश्लेषणामुळे मुलांची उदाहरणे सोडवताना नेमकी चूक काय झाली आहे, हे समजते. त्यामुळे शिक्षकाला योग्य दिशेने उपचारात्मक काम करता येते.
३) मुलांनी चुकीचे उदाहरण जरी सोडवले तरी त्यांनी ते उदाहरण सोडवताना काय विचार केला, हे शिक्षकाने समजून घेतले पाहिजे.
४) शिक्षकांनी पाठ घेताना मुलांच्या संभाव्य चुका लक्षात घेऊन पाठाची मांडणी करायला हवी. जसे, भागाकार शिकवताना वजाबाकीत होणारी चूक.
५) संकल्पना समजली की नाही, हे जरी वेळोवेळी सरावपत्रिकेद्वारे तपासले गेले तरी प्रत्येक संकल्पनेचे उपयोजन मुलांना करता यायला हवे. त्यासाठी पाठाला अनुरूप प्रकल्प शिक्षकांनी तयार केले पाहिजेत.
या प्रशिक्षणात आणखी एक महत्त्वाची गोष्ट मी आशिष सरांकडून शिकले, ती म्हणजे, पायाभूत चाचणी तयार करण्याचा हेतू. पायाभूत चाचणी म्हटली की, मागील इयत्तेत शिकलेल्या भागाचे मूल्यमापन हाच अर्थ मला आजपर्यंत माहीत होता. आशिष सरांकडून नेमका अर्थ समजला. पायाभूत चाचणी म्हणजे, आधीच्या वर्षाच्या भागासोबतच चालू इयत्तेतील संकल्पनांवर प्रश्न विचारणे. जसे, मागील इयत्तेत चित्र वापरून आकृतिबंध मुलांनी तयार करायचा असेल, तर पायभूत चाचणीत चालू इयत्तेतील संख्यांचा आकृतिबंध विचारणे. यामुळे मुलांची संकल्पनेबद्दलची समज कितपत तयार झाली, याचा अंदाज शिक्षकाला येतो. पुढचे पाठ तयार करायला याची मदत होते. या सिकेच्या प्रशिक्षणामुळे गणित विषयाकडे पाहण्याची नवीन दृष्टी मला मिळाली.
या सर्व प्रशिक्षणांसोबतच आम्हा सर्व शिक्षकांमधील या विषयाकडे बघण्याची समज वाढीस लागण्याचे आणखी एक कारण म्हणजे, आमच्या संस्थेचे कार्याध्यक्ष गिरीश सामंत सरांचे वेळोवेळी मिळालेले मार्गदर्शन. एकक ही संकल्पना असो की मापन, सामंत सर नेहमीच आमच्या पाठांमध्ये महत्त्वाची भर घालतात. वर्गात घेतलेल्या पाठांना, शिक्षकांच्या प्रयोगांना प्रोत्साहन देतात. आम्हांला शिकवताना आलेल्या शंका, प्रश्न यांवर चर्चा घडवून आणतात. या सर्वांमुळे आम्हा सर्वांचे विचार प्रवाही राहिले आहेत. त्यात कधी साचलेपणा आला नाही.
तीन वर्षांपूर्वी एक मराठी सिनेमा आला होता. त्यातील अभिनेत्रीला अपघात झाल्यामुळे तिचा मेंदू संख्याज्ञान पूर्णपणे विसरतो, त्यामुळे तिला अनेक अडचणींना सामोरे जावे लागते. साध्या-साध्या व्यवहारांसाठी दुसऱ्यांवर अवलंबून राहावे लागते. सिनेमात असे दाखवले असले तरी संख्या आणि त्यांवरील क्रिया हा गणिताचा एक भाग आहे, पण याहून महत्त्वाची कौशल्ये गणितामुळे आपल्यामध्ये येतात. जसे, तुलना करणे, अंदाज बांधणे, क्रमवारी लावणे, निर्णय घेणे, समस्या सोडवणे, जोडणी करता येणे. शिक्षकांनी ही कौशल्ये मुलांमध्ये यावीत यासाठी संधी तयार केल्या पाहिजेत. संस्थेने आम्हांला प्रशिक्षणाच्या संधी वेळोवेळी दिल्यामुळे वरील कौशल्ये मुलांमध्ये कशी येतील, यासाठी आम्ही शिक्षक सतत प्रयत्नशील असतो. घेतलेल्या प्रशिक्षणातील विचार समजून घेऊन त्यात स्वत: भर घालून मुलांसोबत काम करत आहोत आणि म्हणूनच गणितासोबत आमची गट्टी झाली आहे.
अदिती अभय घाडीगावकर
संपर्क क्र. - ९९३०९००११२
(लेखिका गोरेगाव, मुंबई येथील डोसीबाई जीजीभॉय प्राथमिक शाळेत सहशिक्षिका आहेत.)
...
हा लेख पूर्ण वाचायचा आहे? सोपं आहे. एकतर * सभासदत्व !*' घ्या किंवा आपण विद्यमान सभासद असाल तर कृपया लॉगिन करा .
प्रयोगशील शिक्षण
, मराठी शाळा
, गणित प्रयोग
, अदिती घाडीगावकर
, डोसीबाई जीजीभॉय प्राथमिक शाळा
, मराठी अभ्यास केंद्र
and then add to homescreen
atmaram jagdale
3 वर्षांपूर्वीखुपच छान लेख - मी स्वतः शिक्षक असत्यामूळे खूपच उपयुक्त वाटला .